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Zénon, Thomson et les balles de ping-pong.

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Physique

Maintenant, passons en revue quelques (pseudo-)paradoxes liés à la notion d'infini. Jusqu'à l'avènement de la théorie de Cantor, l'infini était mal compris car

  • personne ne pensait qu'il pouvait exister plusieurs infinis ;
  • l'infini (actuel) était revêtu du même statut que n'importe quel autre objet mathématique, par exemple un nombre.
De nombreux paradoxes apparents surgissaient, car les mathématiques regorgent d'exemples de relations valables au bout d'un nombre fini d'étapes, mais qui cessent d'être vraies à l'infini. Quelques exemples inoffensifs cette semaine :
  • Les paradoxes de Zénon (v. -490) consistent à nier la possibilité de tout mouvement. Avent qu'un objet parcoure une distance d , il doit parcourir d/2. Mais auparavant, il aura dû parcourir d/4, mais aussi d/8,... Mine de rien, il aura fallu attendre l'apparition de l'analyse (notion de série convergente, ici la série des d/2n ; cf. cours de spé) pour donner une résolution satisfaisante de ce paradoxe. Une autre version connue, concernant le mouvement relatif, est le paradoxe d'Achille et de la tortue. Bien qu'Achille aille deux fois plus vite que la tortue, il semble ne jamais pouvoir la rejoindre.
  • Le paradoxe de Thomson : une lampe est allumée 1/2 minute, puis éteinte 1/4 minute, rallumée 1/8 minute, etc. Au bout d'une minute, la lampe sera certes bien fatiguée, mais allumée ou éteinte ? Ici, la lampe aura été allumée et éteinte ℵ0 ( = card(N) ) fois ; que la durée totale du processus soit finie ne fait que masquer l'infinité du nombre des étapes. La question de Thomson revient à demander si le dernier entier naturel est pair ou impair...
  • Voici un exemple un peu plus élaboré. Supposons disposer d'une infinité de balles de ping-pong numérotées. Pendant la première 1/2 minute, nous laissons tomber les 10 premières dans une grande boîte, mais nous retirons la n°1. La boîte contient 9 balles. Pendant le 1/4 minute suivant, nous ajoutons les 10 suivantes (11 à 20) et nous retirons la n°2. La boîte contient 18 balles. Puis, en 1/8 minute, nous ajoutons encore les balles 21 à 30 et nous retirons la n°3. Et ainsi de suite. Au bout de n étapes, la boîte contient donc 9n balles. La question est : à la fin, combien de balles dans la boîte ?
    Si l'on tient absolument à donner un sens à l'achèvement du processus, alors la réponse ne peut être que : 0. En effet, pour chaque entier n, la balle n°n aura été retirée de la boîte (précisément, au bout de la nième étape).
Ce dernier exemple souligne que la situation à l'infini n'est pas, en général, représentative des situations atteintes au bout d'un nombre fini d'étapes.

Par la suite, nous examinerons quelques exemples plus mathématiques.