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Empilement de dominos.

Sémantique

Logique

Infini

Mesure

Probas

Nombres

Physique

Quel est le surplomb maximal que l'on peut réaliser en empilant des dominos (ou tout autre objet se prêtant à l'empilement) sans que jamais l'équilibre de l'ensemble ne soit rompu ?

Il est infini.

En effet, plaçons l'origine au bord du domino à l'extrémité du surplomb et appelons d la longueur des dominos. Notons sn le surplomb atteint avec n dominos et gn l'abscisse du centre de gravité des n premiers dominos.

Alors

gn = 

1
n
  ⎛
 ⎜
 ⎜
 ⎝		 sn+
d
2		 + ( n-1 )  gn-1 ⎞
⎟
⎟
⎠
et au maximum : sn+1=gn, d'où sn+1=1/n( n sn+d/2) =sn+d/2.1/`n d'où l'on déduit facilement
sn+1 = 

d
2		  ⎛
 ⎜
 ⎜
 ⎝		 1+
1
2		 +...+
1
n		 ⎞
 ⎟
 ⎟
⎠		  = 

d
2		  hn
où la suite harmonique (hn) tend notoirement vers l'infini.

Avec des dominos longs de d = 5 cm, épais de 5 mm, pour réaliser un surplomb de 1 m il faudrait hn > 40. On montre que hn = lnn + γ + o(1) d'où exp(hn) ~ n.eγ. Maple nous apprend alors l'ordre de grandeur de n : n ≃ 132.1015 --- un sacré paquet de dominos --- pour une hauteur de la pile de 660.1012 m soit un peu moins d'un mois-lumière...