Accueilretour

Le paradoxe de Leslie ou argument de l'apocalypse.

Sémantique

Logique

Infini

Mesure

Probas

Nombres

Physique

La formule de Bayes (cf. le dilemme de Monty Hall) a des conséquences inattendues.

Donnons d'abord une illustration simple de ce qu'on appelle probabilité de causes ou probabilité a posteriori.

Une fois sur deux, McEnroe gagne le premier set (cas 1 ; P1 = 1/2). Alors il prend confiance et reste intouchable, ne perdant qu'un match sur 20 (Q1 = 1/20). Mais s'il perd le 1er set (cas 2 ; P2 = 1/2), il s'énerve et remonte rarement son handicap : seulement un match sur 4 gagné (Q2 = 3/4).

Maintenant, j'arrive devant ma télé juste à temps pour voir Big Mac envoyer piteusement la balle de match dans le filet. Ne suis-je pas fondé à supposer qu'il a sans doute perdu le 1er set ? 

La formule de Bayes donne cette probabilité a posteriori et s'écrit :

P'2=  
P2Q2
P1Q1+P2Q2		  = 
15
16		  ≃ 93,75%,
ce qui confirme l'intuition.

Mais envisageons maintenant deux hypothèses :

  • hypothèse 1 : l'humanité disparaîtra avant 2150. Nous lui assignons une probabilité a priori P1 = 1% (seulement, car nous sommes des gens optimistes !) ;
  • hypothèse 2 : l'humanité subsistera après l'année 2150. La probabilité a priori est donc P2 = 99%.
Mais la population croît très vite. Dans l'hypothèse 1, un humain sur 10 aura connu les années 2000 (Q1 = 1/10). Dans l'hypothèse 2, un homme sur 1000 seulement [1] aura eu ce bonheur (Q2 = 1/1000), car le genre humain aura continué de proliférer.

Alors, l'événement exceptionnel n'est-il pas que je sois ici ce jour même ? Ne faut-il pas réviser à la hausse la probabilité P1 ? La conclusion de la formule de Bayes est ici choquante :

P'1 = 
P1Q1
P1Q1+P2Q2		  = 
100
199		  ≃50,25% !

Le simple fait de se trouver ici et bien vivant aujourd'hui fait grimper la probabilité de l'hypothèse 2 d'un facteur > 50 !

Ce paradoxe a été proposé par John Leslie en 1989. Il existe quel que soit le jeu de paramètres adopté, et a déjà fait couler beaucoup d'encre. Son interprétation et sa réfutation posent des problèmes épineux.

Cette présentation du paradoxe de Leslie est tirée du livre de J.-P. Delahaye, Logique, informatique et paradoxes, Belin 1995, pp. 30-32. On s'y reportera pour plus de détails, particulièrement en ce qui concerne les interprétations et explications du paradoxe .

Note

[1] Ces chiffres sont nécessairement approximatifs, mais généralement reconnus comme significatifs. L'existence et la nature du paradoxe ne sont pas suspendues aux valeurs choisies pour Q1 et Q2, non plus qu'aux estimations initiales P1 et P2.