Le gömböc
Courbes & surfaces
Ensembles, nombres & graphes
La réponse ne peut dépasser 4 : un tétraèdre régulier, posé sur l'une de ses faces, est en équilibre stable [1].
Dans un ouvrage de 2005 [2], V. I. Arnold conjecture qu'il existe des solides solutions avec moins de 4 points d'équilibre stable, appelés mono-monostatiques.
La condition d'homogénéïté est très forte. Elle élimine les jouets d'enfants de type "culbutos". Ces petites figurines lestées reviennent toujours à leur unique position d'équilibre stable, justement, parce qu'elles sont inhomogènes [3].
Un "culbutos plan" peut se concevoir. Il suffit de diminuer arbitrairement l'épaisseur d'un culbutos tridimensionnel. À nouveau, il n'y a qu'un point d'équilibre stable. Cependant, si l'on impose l'homogénéïté, ça n'est plus possible. Un raisonnement assez simple (par l'absurde) permet de montrer qu'il n'existe pas de figure plane homogène possédant un seul point d'équilibre stable.
Cependant, en 2007, deux hongrois, G. Domokos et P. Várkonyie (un mathématicien et un ingénieur), ont inventé le gömböc [4].
Sa conception ne doit rien au hasard. Ses découvreurs sont partis d'une description de la surface en coordonnées sphériques Rc,d(θ,φ) = (1+d)ΔR(θ,φ,c). d mesure l'éloignement de la sphère de référence ; un choix de d assez petit [6] assurera la convexité. La surface est constituée d'une partie "maigre" (ΔR < 0, intérieure à la sphère) et d'une partie "épaisse" (ΔR > 0), séparées par une courbe (ΔR = 0) de type "balle de tennis". Dans l'exemple ci-dessus, c ~ 0,275. Toute la difficulté réside dans le choix de la fonction ΔR.
Cette solution n'est donc pas unique. L'objet est assez déroutant : difficile à approximer par des polyèdres, complexe à usiner. Si l'exemplaire présenté à été réalisé "économiquement" par prototypage rapide [7], une société [8] vous en propose de magnifiques, en métal ou en verre, personnalisés à votre demande, pour à peine plus de... 1 000 € !
Les inventeurs eux-mêmes font remarquer l'analogie de forme avec celle de la carapace de la tortue étoilée d'Inde (geochelone elegans).
Notes
[1] Il a également 4 positions d'équilibre instable : posé sur un sommet à l'aplomb de son centre de gravité.[2] V. I. Arnold, Arnold’s problems, Springer 2005.
[3] Un œuf ne convient pas davantage !
[4] du hongrois gomb (sphère) ; prononcez gueumbeutss de votre plus bel accent...
[5] et une instable
[6] d < 5.10-5 convient, selon les auteurs.
[7] découpage tranche par tranche au laser dans un matériau polymère.
[8] Varinex -- même si vous ne craquez pas, suivez ce lien pour voir l'objet en action !