L'octacube
Courbes & surfaces
Ensembles, nombres & graphes
En dimension 3, il y a cinq polyèdres réguliers, et cinq seulement.
En dimension 4, ils sont au nombre de 6 [1]. L'un d'entre eux a donné naissance à l'objet d'art qui nous intéresse. Son pedigree est impressionnant : 24 sommets, 96 arêtes, autant de faces et 24 "faces de dimension 3" (nous sommes en dimension 4, ne l'oublions pas).
Un tel objet ne peut être visualisé en dimension 3. Il faut par exemple le projeter, comme on projette le globe terrestre sur une carte. Une projection possible est la projection stéréographique schématisée ci-dessous à partir du "pôle nord" N :
Cette projection est dite conforme (elle conserve les angles).
Son équivalent en dimension 4 intervient dans la projection du solide initial, après toutefois que celui-ci ait été projeté sur une sphère (de dimension 3) selon le même principe (mais à partir de l'un de ses sommets). Vous suivez ?
Le résultat, objet mathématique et oeuvre d'art, a été dénommé octacube. Les projections des arêtes partant de ce sommet s'étendent à l'infini. Elles ont été tronquées pour former les "pieds" visibles en haut et en bas de la sculpture.
Cette imposante structure d'acier (près de 2m de haut, plus 1m pour le socle de granit) trône dans l'un des halls de l'Université de Pennsylvanie (Philadelphie).
Elle est aussi un hommage à la mémoire du mathématicien K. Anderson, disparu dans les attentats du 11 septembre 2001.
[Pour la Science n°341 - 3/06]
Note
[1] Non, ils ne sont pas 7 en dimension 5, mais 3 -- et ce nombre ne varie plus avec la dimension. D'ailleurs, n'oublions pas qu'en dimension 2, il y en a une infinité...