Le paradoxe de Richard

Sémantique

Logique

Infini

Mesure

Probas

Nombres

Physique

Nous quittons le (vaste) domaine des probabilités et des statistiques, pour aborder à partir de cette semaine des questions relatives aux nombres, et en particulier à leur (bonne) définition.

En 1905 Jules Richard a l'idée de considérer un certain ensemble E. Il forme tous les arrangements de lettres 2 à 2, puis 3 à 3, 4 à 4... (ils ne forment pas tous des mots). Il supprime de cette liste tout ce qui ne représente pas un nombre. Il note u₁ le premier nombre restant, u₂ le deuxième et ainsi de suite. Il a obtenu de la sorte une énumération de l'ensemble (dénombrable) des nombres qui peuvent se définir avec une quantité finie de mots.

Citons maintenant J. Richard :

"Voici où est la contradiction. On peut nommer un nombre n'appartenant pas à cet ensemble.

Soit p, la n^ième décimale du n^ième nombre. de l'ensemble E ; formons un nombre ayant zéro pour partie entière, et pour n^ième décimale p+1 si p n'est égal ni à 8 ni à 9, et l'unité dans le cas contraire.

Ce nombre N n'appartient pas à l'ensemble E. S'il était le n^ième nombre de l'ensemble E, son n^ième chiffre serait le n^ième chiffre décimal de ce nombre, ce qui n'est pas le cas.

Je nomme G le groupe de lettres entre guillemets.

Le nombre N est défini par les mots du groupe G, c'est à dire par un nombre fini de mots ; il devrait appartenir à l'ensemble E. Or, on a vu qu'il n'y appartient pas. Telle est la contradiction."

"Montrons que cette contradiction n'est qu'apparente. Revenons à nos arrangements. Le groupe de lettres G est un de ces arrangements ; il existera donc dans mon tableau. Mais, à la place qu'il occupe, il n'a pas de sens. Il y est question de l'ensemble E, et celui-ci n'est pas encore défini. Je devrai donc le biffer. Le groupe G n'a de sens que si l'ensemble E est totalement défini, et celui-ci ne l'est que par un nombre infini de mots. Il n'y a donc pas de contradiction."