La brachistochrone.

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Mesure

Probas

Nombres

Physique

Étant donné deux points A et B non à la verticale l'un de l'autre, et un point M astreint à se déplacer sans frottement sur une courbe de A à B, déterminer la forme de la courbe, appelée brachistochrone, pour laquelle le temps de parcours est minimal.

Cette question, l'un des premiers problèmes variationnels, avait été examinée par Galilée en 1638. Il avait remarqué que la solution n'était pas le segment de droite [ A, B] , et conjecturé faussement que c'était un arc de cercle.

En 1696, Jean Bernouilli lança le défi de trouver la solution avant pâques 1697. La réponse fut trouvée par Newton, Leibniz, L'Hospital, et les frères Bernouilli (Jean et Jacques). La courbe est une arche de cycloïde, que décrit un point d'un cercle qui roule sans glisser sur une droite. Cette courbe, déjà étudiée par Pascal en 1649 et Huygens en 1673, était alors bien connue.

Si l'on note y=f( x) l'équation de la courbe cherchée, avec f(x_A) = y_A et f(x_B) = y_B, on est conduit à rechercher la fonction f de classe C¹ pour laquelle l'intégrale

Par les deux points A et B, il passe en général un et un seul arc de cycloïde :

Le calcul est implacable et confirme le résultat étonnant selon lequel le point M doit parfois descendre en-dessous de B pour remonter ensuite, afin de minimiser le temps de parcours.