La théorie du chaos
Courbes & surfaces
Ensembles, nombres & graphes
La théorie du chaos peut s'expérimenter avec une simple calculatrice.
On définit une suite récurrente
un+1 = f(un)
où f est l'application logistique
x ↦ λx(1-x)
On fait ensuite varier λ (depuis 0). D'abord la suite converge. Puis elle diverge, mais u2n et u2n+1 oscillent entre deux valeurs différentes ("période 2"). Une bifurcation a eu lieu. Puis apparaît la "période" 4, puis 8, puis 16... Puis survient un comportement "aléatoire" : c'est le chaos. Des u0 très proches donnent des un très éloignés : le chaos, c'est l'imprévisibilité. Si l'on augmente encore λ, apparaissent d'autres "fenêtres de régularité" avec les périodes 3, puis 6, 9, 12...
L'ordre dans lequel surviennent les périodes a été déterminé très précisément. Cela constitue le théorème de Sharkovski. On ordonne ainsi les entiers naturels :
3 ⊲ 5 ⊲ 7 ⊲ 9 ⊲ 11 ⊲...
⊲ 6 ⊲ 10 ⊲ 14 ⊲ 18 ⊲ 22 ⊲...
⊲ 12 ⊲ 20 ⊲ 28 ⊲ 36 ⊲ 44 ⊲...
⊲ 3.2n ⊲ 5.2n ⊲ 7.2n ⊲ 9.2n ⊲ 11.2n ⊲...
⊲ 2m ⊲ 2m-1 ...
32 ⊲ 16 ⊲ 8 ⊲ 4 ⊲ 2 ⊲ 1
Alors le th. énonce que si la période p apparaît, c'est aussi le cas de tout q tel que p ⊲ q. Par exemple, si on a la période 3 pour un certain λ, tout entier sera aussi période.
[Dieu joue-t-il aux dés ?, I. Stewart, Flammarion 1992.]