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PC - colles de mathématiques 2012-2013
colle n°3 - semaine n°40
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Le programme n°3 reprend la fin du n°2, que nous n'avions pas pu terminer.
Révisions
- séries ; EVN ;
- dérivation et intégration (cours de sup).
ANALYSE
1 SUITES ET FONCTIONS
1.2.2 Étude locale d'une application, continuité [suite]
Limite de l'image d'une suite (un) admettant une limite a par une
application f admettant une limite au point a.
Caractérisation séquentielle de la continuité d'une
application en un point.
(*) Relations de comparaison en un point ; domination et négligeabilité
pour une fonction f à valeurs vectorielles et une fonction φ
à valeurs réelles ne s'annulant pas en dehors du point.
(*)
Notations f
= O(φ) et f = o(φ). [(*) →chapitre "étude locale"]
Applications continues. Continuité de la composée de deux applications
continues, de la restriction d'une application continue ; opérations
algébriques sur les applications continues. Caractérisation de la
continuité à l'aide des coordonnées dans une base de F.
Espace vectoriel C(A,F) des applications continues de A dans F, algèbre C(A) des fonctions à
valeurs réelles ou complexes continues sur A.
Définition d'une partie compacte d'un espace vectoriel de dimension finie
: partie fermée bornée de E.
Étant donnée une application continue f de A dans F, l'image par
f d'une partie compacte de E incluse dans A est une partie compacte de
F. Cas d'une fonction numérique continue sur un compact : existence
d'extrémums.
La démonstration de ce théorème est hors programme.
1.2.3 Continuité des applications linéaires
Toute application linéaire u d'un espace vectoriel normé (E,N) de
dimension finie dans un autre (F,N') est continue sur E.
Il existe un nombre réel k>0 tel que, pour tout x, N'
(u(x)) ≤ kN(u(x) ) ; dans ces
conditions, u est k-lipschitzienne.
Si E, F et G sont de dimension finie, toute application bilinéaire
B de E×F dans G est continue sur E×F.
Il convient de mettre en valeur des inégalités du type
||B(x,y)|| ≤ k||x|| ||y||.
Continuité de l'application (λ,x)
↦ λ x
de K×E dans E, du produit scalaire sur un espace euclidien.
Continuité de (u,v)
↦ uv dans l'algèbre L(E).
2.1 Dérivation des fonctions à valeurs vectorielles
2.1.1 Dérivée en un point, fonctions de classe C1
Définition de la dérivabilité d'une fonction f définie sur
un intervalle I en un point a de I : dérivée, dérivée
à gauche, à droite.
Les étudiants doivent connaître et savoir exploiter
l'interprétation cinématique et graphique de la notion de
dérivée en un point.
Définition de la dérivabilité d'une fonction f sur un intervalle
I, application dérivée ; application de classe C1 sur
I.
Notations f', Df, df/dx.
Espace vectoriel C1(I,F) des applications de classe
C1, linéarité de la dérivation, dérivée
d'une application de la forme u(f) où u est une application
linéaire, dérivée d'une application de la forme B(f,g), où
B est une application bilinéaire.
Lorsque F est un espace préhilbertien, dérivation du
produit scalaire (f|g), du carré de la norme ||f||2 ; lorsque e est un vecteur unitaire,
orthogonalité de e et de De.
Caractérisation de la dérivabilité d'une fonction f à
valeurs dans F à l'aide d'une base de F.
Les coordonnées de Df sont les dérivées des
coordonnées de f.
Cas d'une fonction f à valeurs complexes : pour que f soit de classe
C1, il faut et il suffit que f le soit, ou encore que
Ref et Imf le soient.
Dans ces conditions, Df = D(Ref) + iD(Imf)
Caractérisation des fonctions constantes parmi les fonctions continues sur
I et dérivables sur l'intérieur de I.