Cette partie est organisée autour de quatre objectifs :
Étudier les propriétés fondamentales des espaces
vectoriels normés de dimension finie, en vue de fournir un cadre
cohérent pour l'étude des suites, des séries et des fonctions.
Étudier le comportement global et asymptotique d'une suite ou
d'une fonction.
Décrire et mettre en œuvre des algorithmes d'approximation
d'un nombre ou d'un vecteur à l'aide de suites ou de séries. Cette
étude est menée en relation avec celle des fonctions et de
l'algèbre linéaire, et avec les problèmes de mesure de grandeurs
géométriques ou physiques.
Exploiter les résultats de la théorie des fonctions pour
l'étude de problèmes numériques (majorations d'expressions,
problèmes d'optimisation, solutions d'équations numériques, ...).
1.1 Normes et distances, suites
Définition d'une norme, notée x ↦ ||x|| ou x ↦ N(x) , sur un espace vectoriel E réel ou complexe ; distance associée, (x,y) ↦ d(x,y). Boules.
Norme x ↦ ||x||2 = (x|x)1/2
associée à un produit scalaire (x,y) ↦ (x|y) sur un espace vectoriel réel ou complexe.
Suites convergentes, suites divergentes. Opérations algébriques sur
les suites convergentes.
Ces notions doivent être illustrées par de nombreux exemples
issus de l'espace Kn, des espaces de matrices et de
fonctions. Les étudiants doivent connaître notamment les normes
N2 et N∞ sur Kn et sur
l'espace vectoriel C([a,b]) des fonctions continues sur [a,b] à valeurs réelles ou complexes.
Définition d'une application k-lipschitzienne : composée
d'applications lipschitziennes.
L'application x ↦ ||x|| est 1-lipschitzienne.
Normes équivalentes ; si N et N' sont équivalentes, toute suite convergeant vers 0 pour l'une converge vers 0 pour l'autre.
Les étudiants doivent savoir comparer notamment les normes usuelles mentionnées ci-dessus.
1.2 Espaces vectoriels normés de dimension finie
Les applications étudiées dans ce chapitre sont définies sur
une partie A d'un espace vectoriel normé E de dimension finie sur R ou sur
C et à valeurs dans un autre espace vectoriel normé F. Dans un souci d'unification, une propriété portant sur une
fonction définie sur A est dite vraie au voisinage d'un
point a si elle est vraie sur l'intersection de A avec une boule de centre a lorsque a est un point de
E adhérent à A, avec un intervalle ]c,+∞[ lorsque E
= R et a = +∞
, avec un intervalle ]−∞,c[ lorsque E =
R et a = −∞.
1.2.1 Suites d'éléments d'un espace vectoriel normé de
dimension finie
Sur un espace vectoriel de dimension finie E, toutes les normes sont équivalentes.
Définition d'une partie bornée, d'une application bornée.
Espace vectoriel normé B(A,F) des applications bornées
f de A dans F muni de la norme N∞
(f) = supx∊A||f(x)||.
Pour qu'une suite (un) d'éléments d'un espace vectoriel normé
E de dimension finie soit convergente, il faut et il suffit que ses
coordonnées dans une base de E soient convergentes.
Les coordonnées de la limite sont alors les limites des
coordonnées.
(*) Relations de comparaison entre suites : domination et négligeabilité
pour une suite (un) à valeurs vectorielles et une suite (α
n) à valeurs réelles. Équivalence pour deux suites (un)
et (vn) à valeurs réelles ou complexes.
(*) Notations un
= O(αn), un =
o(αn),
un~ vn. [pour réf. ; ces points (*) seront traités au chapitre "étude locale"]
1.2.2 Étude locale d'une application, continuité
Définition des parties ouvertes, des parties fermées. Réunion et
intersection de parties ouvertes, de parties fermées.
Définition d'un point adhérent à une partie.
Les notions de voisinage d'un point, d'adhérence, d'intérieur et
de frontière d'une partie, d'ouverts et de fermés relatifs à une
partie sont hors programme.
Limite d'une application : soit f une application d'une partie A de E
à valeurs dans F et a un point de E adhérent à A.
Étant donné un élément b de F, on dit que f admet b
comme limite au point a si, pour tout nombre réel ε>0, il
existe un nombre réel δ>0 tel que, pour tout élément x de
A, la relation ||x−a|| ≤ δ implique la relation
||f(x) −b|| ≤ ε ; le vecteur b
est alors unique, et on le note b=limaf, ou encore
b=limx→ af(x) . Lorsqu'un tel
élément b existe, on dit que f admet une limite au point a.
Lorsque a appartient à A, f est dite
continue au point a ; alors, b = f(a). Dans le cas contraire,
f admet une limite en a si et seulement si f se
prolonge par continuité en ce point. Dans le cas des fonctions d'une variable réelle, extension de cette
définition lorsque a = +∞ ou a = −∞. Dans le cas des fonctions à valeurs réelles, extension aux
limites infinies, lorsque b = +∞ ou b = −∞.
Limite d'une application composée ; opérations algébriques sur les limites.
Caractérisation d'une application admettant une limite à l'aide
de ses coordonnées dans une base de F.
Limite de l'image d'une suite (un) admettant une limite a par une
application f admettant une limite au point a.
Caractérisation séquentielle de la continuité d'une
application en un point.
(*) Relations de comparaison en un point ; domination et négligeabilité
pour une fonction f à valeurs vectorielles et une fonction φ
à valeurs réelles ne s'annulant pas en dehors du point.
(*)
Notations f
= O(φ) et f = o(φ). [(*) →chapitre "étude locale"]
Applications continues. Continuité de la composée de deux applications
continues, de la restriction d'une application continue ; opérations
algébriques sur les applications continues. Caractérisation de la
continuité à l'aide des coordonnées dans une base de F.
Espace vectoriel C(A,F) des applications continues de A dans F, algèbre C(A) des fonctions à
valeurs réelles ou complexes continues sur A.
Définition d'une partie compacte d'un espace vectoriel de dimension finie
: partie fermée bornée de E.
Étant donnée une application continue f de A dans F, l'image par
f d'une partie compacte de E incluse dans A est une partie compacte de
F. Cas d'une fonction numérique continue sur un compact : existence
d'extrémums.
La démonstration de ce théorème est hors programme.
1.2.3 Continuité des applications linéaires
Toute application linéaire u d'un espace vectoriel normé (E,N) de
dimension finie dans un autre (F,N') est continue sur E.
Il existe un nombre réel k>0 tel que, pour tout x, N'(u(x)) ≤ kN(u(x) ) ; dans ces
conditions, u est k-lipschitzienne.
Si E, F et G sont de dimension finie, toute application bilinéaire
B de E×F dans G est continue sur E×F.
Il convient de mettre en valeur des inégalités du type
||B(x,y)|| ≤ k||x|| ||y||.
Continuité de l'application (λ,x)
↦ λ x
de K×E dans E, du produit scalaire sur un espace euclidien.
Continuité de (u,v)
↦ uv dans l'algèbre L(E).
